Антон Баронин родился в семье музыкантов и в четырёхлетнем возрасте начал играть на виолончели и фортепиано. В шесть лет был принят без экзаменов в Центральную музыкальную школу, после окончания которой поступил на фортепианный факультет Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского. Учась в консерватории, увлёкся роком и джазом и стал брать уроки джазовой импровизации у Михаила Моисеевича Окуня.
После окончания консерватории начал карьеру джазового пианиста. Сотрудничал с Германом Лукьяновым, братьями Бриль, Анатолием Герасимовым, Виталием Головнёвым, Борисом Кургановым и др. С саксофонистом Сергеем Головнёй, контрабасистом Евгением Онищенко и барабанщиком Игорем Игнатовым создал собственный квартет, игравший экспериментальную джазовую музыку.
В 2000 году был приглашён в Биг-бэнд и Квартет Игоря Бутмана (с Игорем Бутманом, Виталием Соломоновым и Эдуардом Зизаком), в которых играет по сегодняшний день.
Участвовал в проектах с Бенни Голсоном, Майклом Брекером, Уинтоном Марсалисом, а также Jean-Luc Ponty, George Benson, Paul Bollenback, Randy Brecker, Dee Dee Bridgewater, Биллом Эвансом, Joe Locke, Carmen Lundy, Kevin Mahogany, Billy Cobham, Steve Slagle и другими известными музыкантами.
Создал новый собственный проект — трио Orchestra 2.0, в котором сочетает джазовую и академическую музыку.
На концерте прозвучит авторская программа, для исполнения которой музыкант объединится с блистательной ритм-секцией — контрабасистом Григорием Воскобойником и барабанщиком Петром Михеевым.